第六章常数项级数

无穷级数

将无穷多个数求和。记为 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}=u_1+u_2+u_3+…+u_n+…$

$u_n\Longrightarrow$ 通项

收敛与发散

部分和（前n项和）：$S_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_i}=u_1+u_2+u_3+…+u_n$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{S_n}=常数$ ，称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{S_n}=\infty$ (不存在) ，称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 发散

常见数列求和

等差数列

通项

$$ a_n=a_1+(n+1)d $$

求和

$$ S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot{n}}{2} $$

等比数列求和

通项

$$ a_n={a_1}\cdot{q^{n-1}} $$

求和

$$ S_n=\frac{{a_1}\cdot{(1-q^n)}}{1-q} (q\neq1) $$

当 ${|q|}\lt{1}$ 且 ${n}\rightarrow{\infty}$ 时，${q^n}\rightarrow{0}$ $$ S_n=\frac{a_1}{1-q} ({|q|}\lt{1}) $$

裂项相消

$\frac{1}{{n}\cdot{n+1}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n}\cdot{n+1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1$

$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…++(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
$=1-\frac{1}{n+1}$ ，当 $n\rightarrow\infty$ 时，$\frac{1}{n+1}\rightarrow{0}$
$=1$

收敛级数性质

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛于 $A$ ，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{{k}\cdot{U_n}}={k}\cdot{\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}}$ 也收敛且收敛与 ${k}\cdot{A}$
$收\pm收=收，收\pm发=发$ ，其他不一定成立
$发\pm发=不一定!$
在级数扣掉或加上有限项，不会改变级数敛散性
若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛，对任意项加括号后构成的新级数，敛散性不变
级数收敛的结论：若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}=0$

级数敛散性判别的方法

第 $n$ 项判别法

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{U_n}\neq0\Longrightarrow\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 发散

等比级数(几何级数)判敛方法

标准式： $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{{a}\cdot{q^n}}$
方法：看 ${|q|}$
1. ${|q|}\lt{1}$ ：收敛
2. ${|q|}\gt{1}$ ：发散

P级数判敛准则

形式：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^P}}(P\gt0,P为数字)$
方法，看 $P$
1. $P\gt1$ ：收敛
2. $P \lt 1$ ：发散

调和级数，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^1}}$ ：发散！

正项级数判别法

形式：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}({U_n}\gt{0})$
方法：
1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）
  1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{U_{n+1}}{U_{n}}}\lt{1}$ ：收敛
  2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{U_{n+1}}{U_{n}}}\gt{1}$ ：发散
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{U_{n+1}}{U_{n}}} = {1}$ ：可能收敛可能发散
3. 使用对象：$U_n$ 中含 $n!,a^n,n^n$
4. 比较判别法
  1. 思维过程：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 本身难以判别，考虑通过某些方法找到更简单的级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{V_n}$ ，两相比较判别出 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 的敛散性
    “大收则小收，小发则大发”
  2. 找 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{V_n}$ 的方法
    1. 等价(极值判别法)
    2. 抓大头(针对分式 $\Longrightarrow$ 保留最大项判别)
      存在放缩，分母越小值越大
    3. 放缩
      1. 遇 $\sin{\infty},\cos{\infty},(-1)^{\infty}$ $\le{1}$
      2. 均值不等式：$a^2+b^2\ge2ab$ ，$a+b\ge2\sqrt{ab}$
  3. 公式：$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{U_n}{V_n}=A$
    1. $A$ 为非零常数 $\Longrightarrow$ 同收敛性
    2. $0$ ，”大收则小收“ $\Longrightarrow$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{V_n}$ 收敛则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛
    3. $\infty$ ，”小发则大发“ $\Longrightarrow$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{V_n}$ 发散则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 发散
5. 极值判别法：若 $n\rightarrow{\infty}$ 时，${U_n}\sim{V_n}$ ，且 $U_n,V_n$ 均有限，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 与 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{V_n}$ 同敛散性
$n\rightarrow\infty$ 时， $\sqrt[n]{n} = 1$
1. 根植判别法（柯西判别法）
  设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 为正项级数，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n} = \rho$
  1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛
  2. 当 $\rho > 1$ 时，级数发散
  3. 当 $\rho = 1$ 时，级数可能收敛也有可能发散

交错级数

定义

称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n}\cdot{U_n}$ 或 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}}\cdot{U_n}$ 为交错级数（$U_n$ 非负）

判别方法

莱布尼茨判别法：若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n}\cdot{U_n}$ 满足

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{U_n}=0$
${U_n}\ge{U_{n+1}}$

则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n}\cdot{U_n}$ 收敛

注意

交错级数可理解为：正项，负项交替出现的级数
判断敛散性时，若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{U_n}\neq0$ 则里面判断级数发散
${U_n}\ge{U_{n+1}}$ 等同于 ${U_n}-{U_{n+1}}\ge{0}\Longrightarrow\frac{U_{n+1}}{U_n}\le{1}$ ，$U_n$ 是个单减数列

考试注意点

若求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{U_n}=0$ 时，出现洛必达求 $U_n$ 极限时，不能直接求导，需要把 $n$ 改为 $x$ 后再求导
有时用导数判断单调性时，也需要把 $n$ 变为 $x$ 后才可求导

任意项级数

定义

称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ ，【 $U_n$ 为任意项（ $U_n$ 可正可负，形式随意）】为任意项级数

处理方法

对 $U_n$ 加上绝对值（变 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$为 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|U_n|}$ $\Longleftrightarrow$ 正数级数）

绝对收敛

若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|U_n|}$ 收敛，称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 绝对收敛

条件收敛

若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|U_n|}$ 发散，而级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{U_n}$ 收敛

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