常微分方程

基本概念

  1. 称含有 $y$ 及相关导数的方程叫微分方程

  2. 方程的阶:指方程中最高阶导数

  3. 方程的解:满足方程的函数 $y$

  4. 方程的解的类型

    1. 通解:满足方程的所有解,特点:1. 含有独立任意常数 $C$ ,2. 且 $C$ 的个数与阶数相同

    2. 特解:满足方程的一个特殊解,特点:不含 $C$

题型

阶数的识别

储备

  1. $y^(n)$ :叫n阶导
  2. $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=y^{'}$ ,$\frac{\text{d}^{2}{y}}{\text{d}{x^{2}}}=y^{''}$
  3. 导数取决与整个方程中导数的最高阶导,而不是变量的次数
  4. 导数不是幂函数,别自己做数学家,$(y^{''})^3\neq{y}^{''''''}$ ,$(y^{''})\cdot(y^{''}=y^{''''})$

线性微分方程识别

称方程中的位置函数 $y$ 及其各阶导数 $y^{'},y^{''}$ 等均是一次方

齐次方程的识别

称 $y$ 及其相关导数 $=Q(x)$

  1. $(x)=0$ 齐次
  2. $(x)\neq{0}$ 非齐次

解的类型判断

  1. $C$ 的个数与阶数相同 $\Longrightarrow$ 通解
  2. 不含 $C$ 的解 $\Longrightarrow$ 特解
  3. 满足方程的解 $\Longrightarrow$ 解

微分方程的求解

直接积分法

遇到 $y^{n}=Q(x)$ 时,如:$y^{''}=x+1$

一阶微分方程的求解

可分离变量微分方程的求解

当方程中 $x$ 相关函数和 $y$ 相关函数可分开成 $f(x)\text{d}{x}=g(y)\text{d}{y}$ 的形式,称这样的方程为可分离变量方程

解法

  1. 通过移项,乘除,将方程变量分开:$f(x)\text{d}{x}=g(y)\text{d}{y}$
  2. 两边同时积分 $\int{f(x)}\text{d}{x}=\int{g(y)}\text{d}{y}$
  3. 整理化简

常见化简

  1. ${C_1}\pm{C_2}=C$
  2. ${C_1}\cdot{C_2}或者\frac{C_1}{C_2} = C$
  3. $C=\ln{c}$
  4. $\pm{e^{c}}=C$

一阶齐次微分方程的求解

储备

  1. ”齐次“指 $x,y$ 各项次数或乘积次数相同

    ${x^{2}},{y^{2}}$ ,${x}\cdot{y}$ 都叫2次

  2. 解题关键:在进行变量分离过程中,将 $x,y$ 项变成 $\frac{y}{x}$ 的形式

  3. 常考一般为二次时 $\Longrightarrow$ 选择等号两边同除 $x^2$

概念

称 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 的方程叫齐次方程

解法

  1. 将方程通过移项,乘除化为 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 的形式

  2. 换元:令 $\frac{y}{x}=u$ ,则 $y={u}\cdot{x}\Longrightarrow{y^{'}}={u^{'}x}+{u}$ 即:$\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\frac{\text{d}{u}}{\text{d}{x}}\cdot{x}+u$

  3. 将上诉换元回代方程 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 中

  4. 分离变量,积分后用 $u=\frac{y}{x}$ 回代即得通解

一阶线性微分方程

形式一

$$ {y^{'}}+{{P(x)}\cdot{y}}=Q(x) $$

解法:$y=e^{-\int{P(x)\text{d}{x}}}\cdot[\int{Q(x)}\cdot{e^{\int{P(x)}\text{d}{x}}}\text{d}{x}+C]$

形式二

$$ {x^{'}}+{P(y)}\cdot{x}=Q(y) $$

解法:$x=e^{-\int{P(y)}\text{d}{y}}\cdot[\int{Q(y)}\cdot{e^{\int{P(y)}\text{d}{y}}}\text{d}{y}+C]$

变限积分中的微分方程

遇变限积分:

  1. 求导
  2. 用 $\int_{a}^{a}{f(t)}\text{d}{t}=0$ 求出一个初始条件

二阶微分方程

定义

称 $ay^{''}+by^{'}+cy=f(x)$ 为二阶微分方程

  1. 当 $f(x)=0$ 为二阶齐次线性微分方程
  2. 当 $f(x)={P(x)}\cdot{e^{\lambda{x}}}$ 为二阶非齐次线性微分方程

二阶齐次微分方程的解法

标准形式:

$$ ay^{''}+by^{'}+cy=0 $$

解法

  1. 写出特征方程:$ar^{2}+br+c=0$

  2. 特征根: $r_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}$

  3. 套公式: $$ {r_1}\neq{r_2}, y={C_1}{e^{r_{1}x}}+{C_2}{e^{r_{2}x}}\tag{1}\label{1} $$

    $$ {r_1}={r_2},y=({C_1+C_{2}x})\cdot{e^{r_{1}x}}\tag{2}\label{2} $$

    $$ r_{1,2}={a}\pm{bi},y={e^{ax}}\cdot{({C_{1}\cos{bx}}+{C_{2}\sin{bx}})}\tag{3}\label{3} $$

    $i^2=-1$ ,如:$\sqrt{-4}=\sqrt{4i^2}=2i$