常微分方程

基本概念

称含有 $y$ 及相关导数的方程叫微分方程
方程的阶：指方程中最高阶导数
方程的解：满足方程的函数 $y$
方程的解的类型
1. 通解：满足方程的所有解，特点：1. 含有独立任意常数 $C$ ，2. 且 $C$ 的个数与阶数相同
2. 特解：满足方程的一个特殊解，特点：不含 $C$

题型

阶数的识别

储备

$y^(n)$ ：叫n阶导
$\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=y^{'}$ ，$\frac{\text{d}^{2}{y}}{\text{d}{x^{2}}}=y^{''}$
导数取决与整个方程中导数的最高阶导，而不是变量的次数
导数不是幂函数，别自己做数学家，$(y^{''})^3\neq{y}^{''''''}$ ，$(y^{''})\cdot(y^{''}=y^{''''})$

线性微分方程识别

称方程中的位置函数 $y$ 及其各阶导数 $y^{'},y^{''}$ 等均是一次方

齐次方程的识别

称 $y$ 及其相关导数 $=Q(x)$

$(x)=0$ 齐次
$(x)\neq{0}$ 非齐次

解的类型判断

$C$ 的个数与阶数相同 $\Longrightarrow$ 通解
不含 $C$ 的解 $\Longrightarrow$ 特解
满足方程的解 $\Longrightarrow$ 解

微分方程的求解

直接积分法

遇到 $y^{n}=Q(x)$ 时，如：$y^{''}=x+1$

一阶微分方程的求解

可分离变量微分方程的求解

当方程中 $x$ 相关函数和 $y$ 相关函数可分开成 $f(x)\text{d}{x}=g(y)\text{d}{y}$ 的形式，称这样的方程为可分离变量方程

解法

通过移项，乘除，将方程变量分开：$f(x)\text{d}{x}=g(y)\text{d}{y}$
两边同时积分 $\int{f(x)}\text{d}{x}=\int{g(y)}\text{d}{y}$
整理化简

常见化简

${C_1}\pm{C_2}=C$
${C_1}\cdot{C_2}或者\frac{C_1}{C_2} = C$
$C=\ln{c}$
$\pm{e^{c}}=C$

一阶齐次微分方程的求解

储备

”齐次“指 $x,y$ 各项次数或乘积次数相同

${x^{2}},{y^{2}}$ ，${x}\cdot{y}$ 都叫2次
解题关键：在进行变量分离过程中，将 $x,y$ 项变成 $\frac{y}{x}$ 的形式
常考一般为二次时 $\Longrightarrow$ 选择等号两边同除 $x^2$

概念

称 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 的方程叫齐次方程

解法

将方程通过移项，乘除化为 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 的形式
换元：令 $\frac{y}{x}=u$ ，则 $y={u}\cdot{x}\Longrightarrow{y^{'}}={u^{'}x}+{u}$ 即：$\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\frac{\text{d}{u}}{\text{d}{x}}\cdot{x}+u$
将上诉换元回代方程 $\frac{\text{d}{y}}{\text{d}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$ 中
分离变量，积分后用 $u=\frac{y}{x}$ 回代即得通解

一阶线性微分方程

形式一

$$ {y^{'}}+{{P(x)}\cdot{y}}=Q(x) $$

解法：$y=e^{-\int{P(x)\text{d}{x}}}\cdot[\int{Q(x)}\cdot{e^{\int{P(x)}\text{d}{x}}}\text{d}{x}+C]$

形式二

$$ {x^{'}}+{P(y)}\cdot{x}=Q(y) $$

解法：$x=e^{-\int{P(y)}\text{d}{y}}\cdot[\int{Q(y)}\cdot{e^{\int{P(y)}\text{d}{y}}}\text{d}{y}+C]$

变限积分中的微分方程

遇变限积分：

求导
用 $\int_{a}^{a}{f(t)}\text{d}{t}=0$ 求出一个初始条件

二阶微分方程

定义

称 $ay^{''}+by^{'}+cy=f(x)$ 为二阶微分方程

当 $f(x)=0$ 为二阶齐次线性微分方程
当 $f(x)={P(x)}\cdot{e^{\lambda{x}}}$ 为二阶非齐次线性微分方程

二阶齐次微分方程的解法

标准形式：

$$ ay^{''}+by^{'}+cy=0 $$

解法

写出特征方程：$ar^{2}+br+c=0$
特征根： $r_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}$
套公式： $$ {r_1}\neq{r_2}, y={C_1}{e^{r_{1}x}}+{C_2}{e^{r_{2}x}}\tag{1}\label{1} $$

$$ {r_1}={r_2},y=({C_1+C_{2}x})\cdot{e^{r_{1}x}}\tag{2}\label{2} $$

$$ r_{1,2}={a}\pm{bi},y={e^{ax}}\cdot{({C_{1}\cos{bx}}+{C_{2}\sin{bx}})}\tag{3}\label{3} $$

$i^2=-1$ ，如：$\sqrt{-4}=\sqrt{4i^2}=2i$

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第五章常微分方程初步