多元函数微分学

多元函数定义

由多个变量确定的函数

多元函数定义域

• 某个函数 $Z$ ，由两个变量同时确定是，称 $Z=f(x,y)$ 为二元函数
• 二元函数定义域：$x,y$ 的取值范围
• 二元函数定义域写法：${(x,y)|x,y需要满足的条件}$

二元函数对应法则

解法：

1. 换元
2. 配凑

二元函数极限

若点 $P(x,y)$ 以任意方式趋于点 $P_0(x_0,y_0)$ 时，f(x,y)趋于一个常数 $A$ ，称 $A$ 为 $f(x,y)$ 的极限，记为 $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0))}f(x,y)$ 或 $\lim\limits_{x\rightarrow{x_0},y\rightarrow{y_0}}f(x,y)$

二元函数偏导数

当 $y_0$ 固定而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\triangle{x}$ 时，称 $\lim\limits_{\triangle{x}\rightarrow0}\frac{f(x_0+\triangle{x},y_0)-f(x_0-y_0)}{\triangle{x}}$ 为二元函数对 $x$ 的偏导数，反之，称 $\lim\limits_{\triangle{y}\rightarrow0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle{y})-f(x_0-y_0)}{\triangle{y}}$ 为二元函数对 $y$ 的偏导数

一阶偏导的写法

设二元函数 $Z=f(x,y)$ ，

记：$\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}$ 或 $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ ，$Z_x$ ，$f_{x}(x,y)$ 为对 $x$ 的偏导

记：$\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}$ 或 $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ ，$Z_y$ ，$f_{y}(x,y)$ 为对 $y$ 的偏导

一阶偏导的计算

$\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}$ ：指对 $x$ 求偏导，$y$ 固定为一个常数（暂时看为常数）

$\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}$ ：指对 $y$ 求偏导，$x$ 固定为一个常数（暂时看为常数）

全微分

$$\text{d}Z=\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}\text{d}{x}+\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}\text{d}{y}\tag{1}\label{1}$$

全微分形式的不变性

设函数 $Z=f(u,v)$ 具有 连续 偏导数，则有全微分 $$\text{d}Z=\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}\text{d}{x}+\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}\text{d}{y}$$ 如果 $u$ 和 $v$ 是中间变量，即 $u = \varphi(x,y)$ ，$v=\psi(x,y)$ 且这两个函数也具有连续的偏导数， $$\text{d}{u}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\text{d}{x}+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\text{d}{y}$$

$$\text{d}{v}=\frac{\partial{v}}{\partial{x}}\text{d}{x}+\frac{\partial{v}}{\partial{y}}\text{d}{y}$$

那么复合函数 $$Z=f(\varphi(x,y),\psi(x,y))$$ 的全微分为 $$\text{d}{Z}=\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}\text{d}{x}+\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}\text{d}{y}$$ 根据复合函数求导，有 $$\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{Z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$$

$$\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}+\frac{\partial{Z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$$

可微与偏导的关系

• 可微 $\Longleftrightarrow$ 可导 $\Longrightarrow$ 连续 $\Longrightarrow$ 极限

  极限 不能推出 函数值

• $Z=f(x,y)$ ，偏导存在且连续 $\Longrightarrow$ $f(x,y)$ 可微($\ref{1}$)

• $Z=f(x,y)$ ，可微 $\Longrightarrow$ 连续 $\Longrightarrow$ 极限

• $Z=f(x,y)$ ，可微 $\Longrightarrow$ 偏导存在

• 偏导存在，与连续无关

可微的本质

可微

指用 $f(x,y)$ ，在 $(x_0,y_0)$ 处切线上的增量 $\triangle{y}$ 来代替了曲线 $f(x)$ 本身的增量 $\triangle{y}$

若 $\triangle{y_{切}}=\triangle{y}$ ，则称可微 ，条件 $\triangle{y}-\triangle{y_{切}}=\triangle{y}-f^{'}(x_0)\cdot\triangle{x}\Longrightarrow{0}$ ，且 $\triangle{x}$ 的高阶无穷小量

一元函数

1. 写增量：$\triangle{y}=f(x_0+\triangle{x})-f(x_0)$
2. 写线性增量：${A}\triangle{x}=f^{'}{x_0}\triangle{x}$
3. 作极限：$\lim\limits_{\triangle{x}\rightarrow0}{\frac{\triangle{y}-{A}\triangle{x}}{\triangle{x}}}$ 趋于0，即可微

二元函数

$Z=f(x,y)$

1. 全增量：$\triangle{Z}={f({x_0}+{\triangle{x}},{y_0}+{\triangle{y}})}-{f({x_0},{y_0})}$
2. 线性增量：$\triangle{Z_{线}}=A\triangle{x}+B\triangle{y}$
3. 作极限：$\lim\limits_{\triangle{x}\rightarrow0}{\frac{\triangle{Z}-\triangle{Z_{线}}}{\sqrt{\triangle{x^2}}+\triangle{y^2}}}$
   1. $\triangle{Z}=A\triangle{x}+B\triangle{y}+0(\rho)$
      1. $\rho=\sqrt{\triangle{x^2}+\triangle{y^2}}$
      2. $A=\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}$
      3. $B=\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}$

二阶偏导

1. $\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{x^2}}$ ：指 $Z$ 对 $x$ 求两次偏导

2. $\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{y^2}}$ ：指 $Z$ 对 $y$ 求两次偏导

3. $\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{y}\partial{x}}$ ：指 $Z$ 先对 $y$ 后对 $x$ 的二阶混合偏导

4. $\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{x}\partial{y}}$ ：指 $Z$ 先对 $x$ 后对 $y$ 的二阶混合偏导

$Z=f(x,y)$ 的两个混合偏导 $\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{y}\partial{x}}$ ，$\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{x}\partial{y}}$ 在闭区间 $D$ 内连续，则有以下结论 $$\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{x}\partial{y}}$$

二元隐函数偏导

隐函数

不是 $Z=f(x,y)$ 的二元函数

一阶偏导

1. 令 $F(x,y,Z)$
2. 求 $F_x,F_y,F_Z$
3. 套公式 $\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}=-\frac{F_x}{F_{Z}},\frac{\partial{Z}}{\partial{y}}=-\frac{F_y}{F_{Z}}$

二阶偏导

1. 先用公式法求一阶导
2. 用导数公式直接求二阶导

在求二阶导时，切记 $Z$ 是关于 $x,y$ 的函数需要求导的

多元复合函数求导

求导原则

从外向里，层层求导并相乘

链式法则

将每层函数关系罗列（树状图）

分线相加，连线相乘

题型

1. 具体多元复合函数求导：直接代入法

2. 抽象的复合函数求导：面向含 $f(\Box,\triangle)$ 的复合求导

   1. 从外向量逐层求导
   2. 勿忘 $f$ 要导为 $f^{'}$
   3. “$\Box$” 用 “$1$” 代替，"$\triangle$" 用 “2” 代替
   4. 计算结果内容可省略不写括号

二重积分

定义

二重积分是用来求解曲顶柱体的工具，记为 $\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y$ ，其中 $f(x, y)$ 叫被积函数，$\text{d}x\text{d}y$ 叫面积元素，$D$ 为积分区域（底面积）

性质

1. $\iint_{D}{f(x,y)}\pm{g(x,y)}\text{d}x\text{d}y=\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y\pm\iint_{D}{g(x,y)}\text{d}x\text{d}y$

2. 当 $D=D_1+D_2$ 时，$\iint_{D_1}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y+\iint_{D_2}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y$

3. $\iint_{D}{k\cdot}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y = k\cdot\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y$

4. $\iint_{D}{1}\text{d}x\text{d}y = \iint_{D}\text{d}x\text{d}y=S_D$

5. 比较定理：设 ${f(x)}\ge{g(x)}$ ，则 $\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y \ge \iint_{D}{g(x,y)}\text{d}x\text{d}y$

   如果要比较二重积分大小可以对比被积函数的大小

6. 估值定理：设 $f(x)$ 在 $D$ 上有最大值 $M$ ，最小值 $m$ 。

   1. $m \le f(x, y) \le M$
   2. $\Longrightarrow \iint_{D}{m}\text{d}x\text{d}y \le \iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y \le \iint_{D}{M}\text{d}x\text{d}y$
   3. $\Longrightarrow m\cdot\iint_{D}\text{d}x\text{d}y \le \iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y \le D\cdot\iint_{D}\text{d}x\text{d}y$
   4. $\Longrightarrow m\cdot{S_{D}} \le \iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y \le M\cdot{S_{D}}$

补充表达式

1. 圆的表达式: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ，其中 $(a, b)$ 为圆心，$r$ 为圆的半径，$S_{圆}=\pi{r}^{2}$

2. 椭圆的表达式：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ , $S_{椭圆} = \pi\cdot{a}\cdot{b}$

二重积分直角坐标系下的计算公式

1. $\iint_D{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y = \int_{a}^{b}\text{d}x\int_{c}^{d}f(x, y)\text{d}y$

2. $\iint_D{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y = \int_{c}^{d}\text{d}y\int_{a}^{b}f(x, y)\text{d}x$

求解顺序：先求导屁股后面的，右→左

X型图

函数图像，由上，下两函数夹击而成 $$\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y = \int_{a}^{b}\text{d}x\int_{f_{下}(x)}^{f_{上}(x)}f(x, y)\text{d}y$$

Y型图

函数图像，由左，右两函数夹击而成 $$\iint_D{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y = \int_{c}^{d}\text{d}y\int_{f_{左}(y)}^{f_{右}(y)}f(x, y)\text{d}x$$

改函数，由 $y = f(x)$ 改为 $x=f(y)$

定限口诀

后积先定限，限内画直线，先交写下限后交下上限

求解过程

1. 画：画图，联立方程解出交点
2. 定：判断积分区域类型
3. 式：套公式
   1. X型图: $\int_{a}^{b}\text{d}x\int_{f_{下}(x)}^{f_{上}(x)}f(x, y)\text{d}y$
   2. Y型图：$\int_{c}^{d}\text{d}y\int_{f_{左}(y)}^{f_{右}(y)}f(x, y)\text{d}x$

超越积分

1. $\frac{\sin{x}}{x}, \frac{\cos{x}}{x},\frac{\arctan{x}}{x},\sin{x^2},cos{x^2},e^{x^2},e^{-x^2}$ => X型
2. $\frac{\sin{y}}{y}, \frac{\cos{y}}{y},\frac{\arctan{y}}{y},\sin{y^2},cos{y^2},e^{y^2},e^{-y^2}$ => X型

交换积分次序

定义

X型与Y型顺序互换

$\int\text{d}x\int{f(x,y)}\text{d}y \Longleftrightarrow \int\text{d}y\int{f(x,y)}\text{d}x$

交换次序思路

1. 根据积分上下限，画出积分区域
2. 交换次序

交换次序的题型

1. 题目要求
2. 遇积分上下限定好的二重积分计算

极坐标系的二重积分

极坐标与坐标系互换

1. $x=r\cos\theta$
2. $y=r\sin\theta$
3. $x^2+y^2=r^2$

极坐标系下二重积分计算

1. 条件 => 当遇到与圆相关的积分区域相关的积分区域；

2. 考虑：利用极坐标求解；

3. 转换：$x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ，$x^2+y^2=r^2$

4. 公式： $$\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y \Longrightarrow 极坐标 \Longrightarrow \int_{\theta_1}^{\theta_2}\text{d}\theta\int_{r_1}^{r_2}f(r\cdot\cos{\theta}, r\cdot\sin{\theta})\cdot{r}\cdot\text{d}r$$

上线限的确定方法

夹角 $\theta$ 的取值范围

从原点出发逆时针作积分区域的两条切线，取第一条触碰积分区域的切线与 $x$ 正半轴的夹角为 $\theta_1$ ，取第二条即将离开区域的切线与 $x$ 正半轴的夹角为 $\theta_2$ 。

半径 $r$ 的取值范围

将 $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ，$x^2+y^2=r^2$ 代入题干函数表达式中，求解出来

${r}\ge{0}$

常见的积分图像

圆

1. 方程：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ，圆心为 $(a, b)$ ，半径为 $r$ ，$\theta$ 取值范围为${0}\le{\theta}\le{2\pi}$ ，$r$ 取值范围为 ${0}\le{r}\le{r}$
2. 方程：$(x-a)^{2}+(y)^{2}=r^{2}$ ，圆心为 $(a, 0)$ ，半径为 $r$ ，$\theta$ 取值范围为${-\frac{\pi}{2}}\le{\theta}\le{\frac{\pi}{2}}$ ，$r$ 取值范围为 ${0}\le{r}\le{2a\cos\theta}$
3. 方程：$(x)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ，圆心为 $(0, b)$ ，半径为 $r$ ，$\theta$ 取值范围为${0}\le{\theta}\le{\pi}$ ，$r$ 取值范围为 ${0}\le{r}\le{2a\sin\theta}$

二重积分对称性

1. 当 $f(-x,y)=f(x,y)$ 时，$\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y=2\iint_{D_{1}}{f(x,y)\text{d}x\text{d}y}$
2. 当 $f(-x,y)=-f(x,y)$ 时，$\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y=0$

二重积分偶倍奇零

1. 积分区域 $D$ : 关于 $y$ 轴对称，看 $x$ 的奇偶性

   1. $\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}{x}\text{d}{y}$
      1. $=2\iint_{D_1}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y$ ，关于 $x$ 函数为偶函数
      2. $=0$ ，关于 $x$ 函数为奇函数

2. 积分区域 $D$ : 关于 $x$ 轴对称，看 $y$ 的奇偶性

   1. $\iint_{D}{f(x,y)}\text{d}{x}\text{d}{y}$
      1. $=2\iint_{D_1}{f(x,y)}\text{d}x\text{d}y$ ，关于 $y$ 函数为偶函数
      2. $=0$ ，关于 $y$ 函数为奇函数

若 $D$ 对称，首选对称性