不定积分

不定积分的概念与性质

原函数

  • 设 $F^{'}(x) = f(x)$ ,称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数

  • 设 $(F(x) + C)^{'} = f(x)$ ,称 $F(x) + C$ 为 $f(x)$ 的全体原函数

不定积分

根据 $f(x)$ ,求出 $F(x) + C$ 的过程

书写形式

$$ \int f(x) \text{d}x = F(x) + C $$

$\int : 积分符号$

$f(x) : 被积函数$

$d(x)\ 的\ x :被积变量$

$F(x) + C : 原函数$

原函数与积分关系

互逆 $$ \int f(x) \text{d}x \Longrightarrow\ 积分 \Longrightarrow F(x) + C $$

$\int f(x) \text{d}x = F(x) + C \ : \ f(x) 积分 = F(x) + C$

$$ \int f(x) \text{d}x \Longleftarrow\ 求导 \Longleftarrow F(x) + C $$

$(F(x) + C)^{'} = f(x)\ :\ 原函数求导 = f(x)$

不定积分的性质

  1. $$ \int f(x) \pm g(x) \text{d}t = \int f(x) \text{d}t \pm \int g(x) \text{d}t $$

  2. $$ \int k \cdot f(x) \text{d}t = k \cdot \int f(x) \text{d}t $$

    只要 $k$ 与 $x$ 无关,外提

  3. $$ \frac{d[\int f(x) \text{d}t]}{\text{d}x} = (\int f(x) \text{d}x) = (F^{'}(x) + C) = (F^{'}(x)) = f(x) $$

    先积后导 = 本身

  4. $$ \int F^{'}(x) \text{d}x = \int f(x) \text{d}x = F(x) + C $$

    先导后积 = 本身 + C

直接积分法

化简,套公式

遇根式

  • $\sqrt[b]{x^a} = x^{\frac{a}{b}}$
  • $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$
  • $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$

$$ \int x^a \text{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C $$

分式

分子与分母次方相同

有相同项

分子次方 $\gt$ 分母次方

降次

$\frac{1}{\Box \cdot \triangle}$ 拆分

$$ \frac{1}{\Box \cdot \triangle} = (\frac{1}{\Box} - \frac{1}{\triangle}) \cdot \frac{1}{\Box - \triangle} $$

指数型

公式 $$ \int a^x \text{d}x = \frac{a^x}{\ln a}+C $$

$a^x \cdot b^x = (ab)^x$

$\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x$

三角函数型

常见三角函数化简公式

  1. 平方和
    1. $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
    2. $1+\tan^{2}x = \sec^{2}x$
    3. $1+\cot^{2}x = csc^{2}x$
  2. 二倍角
    1. $\sin{2x} = 2\sin{x}cos{x}$
    2. $\cos{2x} = \cos^{2}x - \sin^{2}x = 1 - 2\sin^{2}x = 2\cos^{2}x - 1$
  3. 降次
    1. $\sin^{2}x = \frac{1-\cos{2x}}{2}$
    2. $\cos^{2}x = \frac{1+\cos{2x}}{2}$

凑积分法

  • 条件:遇被积函数形式复杂

  • 思想:

    • $$ \int {被积函数} \text{d}x $$

    • $$ = \int f[g(x)] \cdot g^{'}(x) \text{d}x $$

      被积函数 拆分 成 $f[g(x)] \cdot g^{'}(x)$ 这样的形式

      • 两函数相乘
      • 有导数关系

      $g^{'}(x) \text{d}x$ 是微分

    • $$ \int f[g(x)] \cdot \text{d}g(x) $$

    • 令 $g(x) = u$ 得

      $$ \int f(u) \text{d}u $$

    • 回代 $u = g(x)$

      $$ F[g(x)] + C $$

  • 找导数关系(找 $g^{'}(x)$ )

    • 题型一:

      • 若被积函数可分成 $f(x) \cdot g(x)$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ (乘法or除法)
      • 若 $f(x)$ 较复杂,且 $f(x)$ 求导 可以得到 $g(x)$ 的倍数 (导数关系)
      • 可进行凑微分!
      • 具体步骤:
        1. 拆成乘法或除法关系
        2. 定复杂函数,简单函数
        3. 对复杂函数本身或内层求导,得到简单函数形式
        4. 用求导结果,替换简单函数
        5. 凑微分(整体思想,回代)!
    • 题型二

      • 若被积函数中复杂函数求导无法得到简单函数的倍数

        考虑 被积函数分子分母 同乘或同除某因子方便积分

    • 题型三

      • 遇到 $\sin^{偶}x, \sin^{奇}x \Longrightarrow “奇拆,偶降”$
    • 题型四

      • 直接凑微分法

        • 条件: 遇到 $\int f(x) \text{d}x \Longrightarrow \int f(ax+b) \text{d}x$

          $ax+b$ 一次函数

        • 方法:$\int f(ax+b)\text{d}x = \frac{1}{a}\int f(ax+b)\text{d}(ax+b)$

          $\because\ \frac{1}{a}\text{d}(ax+b)\ =\ \frac{1}{a}(ax+b)^{'}\text{d}x\ =\ \frac{1}{a} \cdot a \cdot \text{d}x = \text{d}x$

简单无理根式换元法

条件:指遇 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的根式时,($\sqrt[n]{一次函数}$)

  1. 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$
  2. 反解出 $x$
  3. 求出 $\text{d}x$
  4. 回代计算!

含有多个 $\sqrt{ax+b}$ 的积分

遇到 $\sqrt[a]{x}, \sqrt[b]{x}$ ,令 $\sqrt[p]{x} = t$ , $p$ 为 $a, b$ 最小公倍数

三角代换

利用三角函数平方和公式,去掉含 $x^2$ 的根式

条件

含 $x^2$ 的根式,比如 $\sqrt{a+x^2}$

公式

  1. 含 $\sqrt{a^2+x^2}$ ,令 $x = a\tan t$
  2. 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ ,令 $x = a\sin t$

$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2 \sin^{2}t} = \sqrt{a^2(1-\sin^{2}t)} = \sqrt{a^2 \cdot \cos^{2}t} = a\cos t$

  1. 含 $\sqrt{x^2-a^2}$ ,令 $x = a\sec t$

基本步骤

  1. 找根式 $x^2$
  2. 换元,计算
  3. 回代

答案中:

  1. 单独 $t$ => 取反三角函数表示
  2. 三角函数 => 画直角三角形, 根据三角关系回代

分部积分

来源

$$ \int{u}\cdot{v}^{'}\text{d}x = {u}\cdot{v}-\int{v}\cdot{u}^{'}\text{d}x $$

使用条件

  1. 乘积关系
  2. 不具有导数关系

核心

找 $u\cdot{v}^{'}$ => 口诀: “反对幂指三”, 前者为 $u$ ,后者为 $v^{'}$

找到 $v^{'}$ 后,$v^{'}\Longrightarrow\int v^{'}\Longrightarrow{v}$

改写原式 $=\int{u}\text{d}v={u}\cdot{v}$

题型一

积分式子中,只有一个函数(反三角,对数) => 直接套公式 $\int{u}\text{d}x$

题型二

积分式子中,两个不同类型函数相乘

题型三

积分式子。$e^x,\cos{x},\sin{x}$ 乘积形式,分部积分(循环) $\Longleftrightarrow$ 会出现两次循环 $\Longleftrightarrow$ 用两次分部积分

题型四

积分式子中含有 $f^{'}(x), f^{''}(x)$ => 分部积分优先

定积分

定积分定义

指用来求曲边图形面积的工具,$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$

定积分几何意义

$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$ : 指由函数曲线 $y=f(x)$ ,及 $x=a,x=b$ ,$x$ 轴所围成的图形各部分面积的代数和

  • $f(x)\gt0$ 时 ,$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \gt0$

  • $f(x)\lt0$ 时 ,$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \lt0$

定积分比较大小

看 $(a, b)$ 范围,$f(x)$ 与 $g(x)$ 大小

$f(x) \ge g(x)$ => $\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \ge \int_{a}^{b}g(x)\text{d}x$

定积分性质

  1. $\int_{a}^{b}{f(x)}\pm{g(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x\pm\int_{a}^{b}{g(x)}\text{d}x$

  2. $\int_{a}^{b}{k}\cdot{f(x)}\text{d}x=k\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x$ ($k与x无关$)

  3. $\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{c}{f(x)}\text{d}x+\int_{c}^{b}{f(x)}\text{d}x$ (分段函数)

  4. $\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x = -\int_{b}^{a}{f(x)}\text{d}x$ (上下限调换,计算结果添负号)

  5. $\int_{a}^{b}1\text{d}x=\int_{a}^{b}\text{d}x=b-a$

定积分计算公式

牛顿—莱布尼茨公式

$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

分部积分公式

$\int_{a}^{b}{u}\cdot{v}^{'}\text{d}x = {u}\cdot{v}|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{v} \cdot {u}^{'}\text{d}x$

定积分的四则运算技巧

偶倍奇零

$\int_{-a}^{a}f(x)\text{d}x$:

  • $f(x)$ 偶函数:$2\int_{0}^{a}f(x)\text{d}x$
  • $f(x)$ 奇函数:0

条件:区间对称

定积分点火公式(华里氏公式)

条件:积分为 $(0, \frac{\pi}{2})$

公式

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}\text{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}\text{d}x$

  • $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$ ,$n$ 为偶数
  • $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}\cdot{1}$

定积分求 $\frac{1}{4}$ 圆面积

$$ \int_{0}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x=\frac{1}{4}\pi{a^2} $$

定积分换元法

定积分换元换限

无理根式代换

三角代换

定积分分段函数

$$ \int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{x_0}{f(x)}\text{d}x+\int_{x_0}^{b}{f(x)}\text{d}x $$

遇分段函数定积分,从分段点分开,单独求左侧及右侧面积

定积分等式证明

积分区间再现公式

$$ \int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)}\text{d}x $$

使用条件

等式两侧,积分区间一样

定积分几何应用

X型图

由上,下两个函数围成的面积(分上下观看) $$ S = \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x \tag{X}\label{X} $$

Y型图

由左,右两个函数围成的面积(分左,右观看)

$$ S = \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y \tag{Y}\label{Y} $$

改写 $x = f(y)$

求解思路

  1. 画:画图(联立方程,找曲线交点)
  2. 定:定类型,X型图Y型图
  3. 式:套公式:
    1. $X \rightarrow \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x$
    2. $Y \rightarrow \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y$

定积分求旋转体体积

X型图

绕x轴

$V_x = \pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\text{d}x$

若是两函数 $f_{上}{(x)}、f_{下}{(x)}$ 间的体积 $$ V_x = \pi\int_{a}^{b}({f_{上}^{2}}(x)-{f_{下}^{2}}(x))\text{d}x $$

绕y轴

$V=2\pi\int_{a}^{b}{x}\cdot{f(x)}\text{d}x$

Y型图

$V_y = \pi\int_{c}^{d}f^{2}(x)\text{d}y$

若是两函数 $f_{右}{(x)}、f_{左}{(x)}$ 间的体积

$V_y = \pi\int_{c}^{d}({f_{右}^{2}}(x)- {f_{左}^{2}}(x))\text{d}x$