第三章 一元函数积分学
不定积分
不定积分的概念与性质
原函数
设 $F^{’}(x) = f(x)$ ，称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数
设 $(F(x) + C)^{’} = f(x)$ ，称 $F(x) + C$ 为 $f(x)$ 的全体原函数
不定积分
根据 $f(x)$ ，求出 $F(x) + C$ 的过程
书写形式
$$ \int f(x) \text{d}x = F(x) + C $$
$\int : 积分符号$
$f(x) : 被积函数$
$d(x)\ 的\ x ：被积变量$
$F(x) + C : 原函数$
原函数与积分关系
互逆 $$ \int f(x) \text{d}x \Longrightarrow\ 积分 \Longrightarrow F(x) + C $$
$\int f(x) \text{d}x = F(x) + C \ : \ f(x) 积分 = F(x) + C$
$$ \int f(x) \text{d}x \Longleftarrow\ 求导 \Longleftarrow F(x) + C $$
$(F(x) + C)^{’} = f(x)\ :\ 原函数求导 = f(x)$
不定积分的性质
$$ \int f(x) \pm g(x) \text{d}t = \int f(x) \text{d}t \pm \int g(x) \text{d}t $$
$$ \int k \cdot f(x) \text{d}t = k \cdot \int f(x) \text{d}t $$
只要 $k$ 与 $x$ 无关，外提
$$ \frac{d[\int f(x) \text{d}t]}{\text{d}x} = (\int f(x) \text{d}x) = (F^{’}(x) + C) = (F^{’}(x)) = f(x) $$
先积后导 = 本身
$$ \int F^{’}(x) \text{d}x = \int f(x) \text{d}x = F(x) + C $$
先导后积 = 本身 + C
直接积分法
化简，套公式
遇根式
- $\sqrt[b]{x^a} = x^{\frac{a}{b}}$
- $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$
- $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
$$ \int x^a \text{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C $$
分式
分子与分母次方相同
有相同项
分子次方 $\gt$ 分母次方
降次
$\frac{1}{\Box \cdot \triangle}$ 拆分
$$ \frac{1}{\Box \cdot \triangle} = (\frac{1}{\Box} - \frac{1}{\triangle}) \cdot \frac{1}{\Box - \triangle} $$
指数型
公式 $$ \int a^x \text{d}x = \frac{a^x}{\ln a}+C $$
$a^x \cdot b^x = (ab)^x$
$\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x$
三角函数型
常见三角函数化简公式
- 平方和
- $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
- $1+\tan^{2}x = \sec^{2}x$
- $1+\cot^{2}x = csc^{2}x$
- 二倍角
- $\sin{2x} = 2\sin{x}cos{x}$
- $\cos{2x} = \cos^{2}x - \sin^{2}x = 1 - 2\sin^{2}x = 2\cos^{2}x - 1$
- 降次
- $\sin^{2}x = \frac{1-\cos{2x}}{2}$
- $\cos^{2}x = \frac{1+\cos{2x}}{2}$
凑积分法
条件：遇被积函数形式复杂
思想：
$$ \int {被积函数} \text{d}x $$
$$ = \int f[g(x)] \cdot g^{’}(x) \text{d}x $$
被积函数 拆分 成 $f[g(x)] \cdot g^{’}(x)$ 这样的形式
- 两函数相乘
- 有导数关系
$g^{’}(x) \text{d}x$ 是微分
$$ \int f[g(x)] \cdot \text{d}g(x) $$
令 $g(x) = u$ 得
$$ \int f(u) \text{d}u $$
回代 $u = g(x)$
$$ F[g(x)] + C $$
找导数关系(找 $g^{’}(x)$ )
题型一：
- 若被积函数可分成 $f(x) \cdot g(x)$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ （乘法or除法）
- 若 $f(x)$ 较复杂，且 $f(x)$ 求导 可以得到 $g(x)$ 的倍数 （导数关系）
- 可进行凑微分！
- 具体步骤：
- 拆成乘法或除法关系
- 定复杂函数，简单函数
- 对复杂函数本身或内层求导，得到简单函数形式
- 用求导结果，替换简单函数
- 凑微分（整体思想，回代）！
题型二
若被积函数中复杂函数求导无法得到简单函数的倍数
考虑 被积函数分子分母 同乘或同除某因子方便积分
题型三
- 遇到 $\sin^{偶}x, \sin^{奇}x \Longrightarrow “奇拆，偶降”$
题型四
直接凑微分法
条件： 遇到 $\int f(x) \text{d}x \Longrightarrow \int f(ax+b) \text{d}x$
$ax+b$ 一次函数
方法：$\int f(ax+b)\text{d}x = \frac{1}{a}\int f(ax+b)\text{d}(ax+b)$
$\because\ \frac{1}{a}\text{d}(ax+b)\ =\ \frac{1}{a}(ax+b)^{’}\text{d}x\ =\ \frac{1}{a} \cdot a \cdot \text{d}x = \text{d}x$
简单无理根式换元法
条件：指遇 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的根式时，（$\sqrt[n]{一次函数}$）
- 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$
- 反解出 $x$
- 求出 $\text{d}x$
- 回代计算！
含有多个 $\sqrt{ax+b}$ 的积分
遇到 $\sqrt[a]{x}, \sqrt[b]{x}$ ，令 $\sqrt[p]{x} = t$ ， $p$ 为 $a, b$ 最小公倍数
三角代换
利用三角函数平方和公式，去掉含 $x^2$ 的根式
条件
含 $x^2$ 的根式，比如 $\sqrt{a+x^2}$
公式
- 含 $\sqrt{a^2+x^2}$ ，令 $x = a\tan t$
- 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ ，令 $x = a\sin t$
$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2 \sin^{2}t} = \sqrt{a^2(1-\sin^{2}t)} = \sqrt{a^2 \cdot \cos^{2}t} = a\cos t$
- 含 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，令 $x = a\sec t$
基本步骤
- 找根式 $x^2$
- 换元，计算
- 回代
答案中：
- 单独 $t$ => 取反三角函数表示
- 三角函数 => 画直角三角形， 根据三角关系回代
分部积分
来源
$$ \int{u}\cdot{v}^{’}\text{d}x = {u}\cdot{v}-\int{v}\cdot{u}^{’}\text{d}x $$
使用条件
- 乘积关系
- 不具有导数关系
核心
找 $u\cdot{v}^{’}$ => 口诀： “反对幂指三”， 前者为 $u$ ，后者为 $v^{’}$
找到 $v^{’}$ 后，$v^{’}\Longrightarrow\int v^{’}\Longrightarrow{v}$
改写原式 $=\int{u}\text{d}v={u}\cdot{v}$
题型一
积分式子中，只有一个函数(反三角，对数) => 直接套公式 $\int{u}\text{d}x$
题型二
积分式子中，两个不同类型函数相乘
题型三
积分式子。$e^x,\cos{x},\sin{x}$ 乘积形式，分部积分(循环) $\Longleftrightarrow$ 会出现两次循环 $\Longleftrightarrow$ 用两次分部积分
题型四
积分式子中含有 $f^{’}(x), f^{’’}(x)$ => 分部积分优先
定积分
定积分定义
指用来求曲边图形面积的工具，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$
定积分几何意义
$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$ : 指由函数曲线 $y=f(x)$ ，及 $x=a,x=b$ ，$x$ 轴所围成的图形各部分面积的代数和
$f(x)\gt0$ 时 ，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \gt0$
$f(x)\lt0$ 时 ，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \lt0$
定积分比较大小
看 $(a, b)$ 范围，$f(x)$ 与 $g(x)$ 大小
$f(x) \ge g(x)$ => $\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \ge \int_{a}^{b}g(x)\text{d}x$
定积分性质
$\int_{a}^{b}{f(x)}\pm{g(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x\pm\int_{a}^{b}{g(x)}\text{d}x$
$\int_{a}^{b}{k}\cdot{f(x)}\text{d}x=k\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x$ ($k与x无关$)
$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{c}{f(x)}\text{d}x+\int_{c}^{b}{f(x)}\text{d}x$ (分段函数)
$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x = -\int_{b}^{a}{f(x)}\text{d}x$ (上下限调换，计算结果添负号)
$\int_{a}^{b}1\text{d}x=\int_{a}^{b}\text{d}x=b-a$
定积分计算公式
牛顿—莱布尼茨公式
$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
分部积分公式
$\int_{a}^{b}{u}\cdot{v}^{’}\text{d}x = {u}\cdot{v}|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{v} \cdot {u}^{’}\text{d}x$
定积分的四则运算技巧
偶倍奇零
$\int_{-a}^{a}f(x)\text{d}x$:
- $f(x)$ 偶函数：$2\int_{0}^{a}f(x)\text{d}x$
- $f(x)$ 奇函数：0
条件：区间对称
定积分点火公式(华里氏公式)
条件：积分为 $(0, \frac{\pi}{2})$
公式
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}\text{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}\text{d}x$
- $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$ ，$n$ 为偶数
- $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}\cdot{1}$
定积分求 $\frac{1}{4}$ 圆面积
$$ \int_{0}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x=\frac{1}{4}\pi{a^2} $$
定积分换元法
定积分换元换限
无理根式代换
三角代换
定积分分段函数
$$ \int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{x_0}{f(x)}\text{d}x+\int_{x_0}^{b}{f(x)}\text{d}x $$
遇分段函数定积分，从分段点分开，单独求左侧及右侧面积
定积分等式证明
积分区间再现公式
$$ \int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)}\text{d}x $$
使用条件
等式两侧，积分区间一样
定积分几何应用
X型图
由上，下两个函数围成的面积(分上下观看) $$ S = \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x \tag{X}\label{X} $$
Y型图
由左，右两个函数围成的面积(分左，右观看)
$$ S = \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y \tag{Y}\label{Y} $$
改写 $x = f(y)$
求解思路
- 画：画图（联立方程，找曲线交点）
- 定：定类型，X型图 或 Y型图
- 式：套公式：
- $X \rightarrow \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x$
- $Y \rightarrow \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y$
定积分求旋转体体积
X型图
绕x轴
$V_x = \pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\text{d}x$
若是两函数 $f_{上}{(x)}、f_{下}{(x)}$ 间的体积 $$ V_x = \pi\int_{a}^{b}({f_{上}^{2}}(x)-{f_{下}^{2}}(x))\text{d}x $$
绕y轴
$V=2\pi\int_{a}^{b}{x}\cdot{f(x)}\text{d}x$
Y型图
$V_y = \pi\int_{c}^{d}f^{2}(x)\text{d}y$
若是两函数 $f_{右}{(x)}、f_{左}{(x)}$ 间的体积
$V_y = \pi\int_{c}^{d}({f_{右}^{2}}(x)- {f_{左}^{2}}(x))\text{d}x$