不定积分

不定积分的概念与性质

原函数

• 设 $F^{'}(x) = f(x)$ ，称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数

• 设 $(F(x) + C)^{'} = f(x)$ ，称 $F(x) + C$ 为 $f(x)$ 的全体原函数

不定积分

根据 $f(x)$ ，求出 $F(x) + C$ 的过程

书写形式

$$\int f(x) \text{d}x = F(x) + C$$

$\int : 积分符号$

$f(x) : 被积函数$

$d(x)\ 的\ x ：被积变量$

$F(x) + C : 原函数$

原函数与积分关系

互逆 $$\int f(x) \text{d}x \Longrightarrow\ 积分 \Longrightarrow F(x) + C$$

$\int f(x) \text{d}x = F(x) + C \ : \ f(x) 积分 = F(x) + C$

$$\int f(x) \text{d}x \Longleftarrow\ 求导 \Longleftarrow F(x) + C$$

$(F(x) + C)^{'} = f(x)\ :\ 原函数求导 = f(x)$

不定积分的性质

1. $$\int f(x) \pm g(x) \text{d}t = \int f(x) \text{d}t \pm \int g(x) \text{d}t$$

2. $$\int k \cdot f(x) \text{d}t = k \cdot \int f(x) \text{d}t$$

   只要 $k$ 与 $x$ 无关，外提

3. $$\frac{d[\int f(x) \text{d}t]}{\text{d}x} = (\int f(x) \text{d}x) = (F^{'}(x) + C) = (F^{'}(x)) = f(x)$$

   先积后导 = 本身

4. $$\int F^{'}(x) \text{d}x = \int f(x) \text{d}x = F(x) + C$$

   先导后积 = 本身 + C

直接积分法

化简，套公式

遇根式

• $\sqrt[b]{x^a} = x^{\frac{a}{b}}$
• $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$

$$\int x^a \text{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$$

分式

分子与分母次方相同

有相同项

分子次方 $\gt$ 分母次方

降次

$\frac{1}{\Box \cdot \triangle}$ 拆分

$$\frac{1}{\Box \cdot \triangle} = (\frac{1}{\Box} - \frac{1}{\triangle}) \cdot \frac{1}{\Box - \triangle}$$

指数型

公式 $$\int a^x \text{d}x = \frac{a^x}{\ln a}+C$$

$a^x \cdot b^x = (ab)^x$

$\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x$

三角函数型

常见三角函数化简公式

1. 平方和
   1. $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
   2. $1+\tan^{2}x = \sec^{2}x$
   3. $1+\cot^{2}x = csc^{2}x$
2. 二倍角
   1. $\sin{2x} = 2\sin{x}cos{x}$
   2. $\cos{2x} = \cos^{2}x - \sin^{2}x = 1 - 2\sin^{2}x = 2\cos^{2}x - 1$
3. 降次
   1. $\sin^{2}x = \frac{1-\cos{2x}}{2}$
   2. $\cos^{2}x = \frac{1+\cos{2x}}{2}$

凑积分法

• 条件：遇被积函数形式复杂

• 思想：

  • $$\int {被积函数} \text{d}x$$

  • $$= \int f[g(x)] \cdot g^{'}(x) \text{d}x$$

    被积函数 拆分 成 $f[g(x)] \cdot g^{'}(x)$ 这样的形式

    • 两函数相乘
    • 有导数关系

    $g^{'}(x) \text{d}x$ 是微分

  • $$\int f[g(x)] \cdot \text{d}g(x)$$

  • 令 $g(x) = u$ 得

    $$\int f(u) \text{d}u$$

  • 回代 $u = g(x)$

    $$F[g(x)] + C$$

• 找导数关系(找 $g^{'}(x)$ )

  • 题型一：

    • 若被积函数可分成 $f(x) \cdot g(x)$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ （乘法or除法）
    • 若 $f(x)$ 较复杂，且 $f(x)$ 求导 可以得到 $g(x)$ 的倍数 （导数关系）
    • 可进行凑微分！
    • 具体步骤：
      1. 拆成乘法或除法关系
      2. 定复杂函数，简单函数
      3. 对复杂函数本身或内层求导，得到简单函数形式
      4. 用求导结果，替换简单函数
      5. 凑微分（整体思想，回代）！

  • 题型二

    • 若被积函数中复杂函数求导无法得到简单函数的倍数

      考虑 被积函数分子分母 同乘或同除某因子方便积分

  • 题型三

    • 遇到 $\sin^{偶}x, \sin^{奇}x \Longrightarrow “奇拆，偶降”$

  • 题型四

    • 直接凑微分法

      • 条件： 遇到 $\int f(x) \text{d}x \Longrightarrow \int f(ax+b) \text{d}x$

        $ax+b$ 一次函数

      • 方法：$\int f(ax+b)\text{d}x = \frac{1}{a}\int f(ax+b)\text{d}(ax+b)$

        $\because\ \frac{1}{a}\text{d}(ax+b)\ =\ \frac{1}{a}(ax+b)^{'}\text{d}x\ =\ \frac{1}{a} \cdot a \cdot \text{d}x = \text{d}x$

简单无理根式换元法

条件：指遇 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的根式时，（$\sqrt[n]{一次函数}$）

1. 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$
2. 反解出 $x$
3. 求出 $\text{d}x$
4. 回代计算！

含有多个 $\sqrt{ax+b}$ 的积分

遇到 $\sqrt[a]{x}, \sqrt[b]{x}$ ，令 $\sqrt[p]{x} = t$ ， $p$ 为 $a, b$ 最小公倍数

三角代换

利用三角函数平方和公式，去掉含 $x^2$ 的根式

条件

含 $x^2$ 的根式，比如 $\sqrt{a+x^2}$

公式

1. 含 $\sqrt{a^2+x^2}$ ，令 $x = a\tan t$
2. 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ ，令 $x = a\sin t$

$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2 \sin^{2}t} = \sqrt{a^2(1-\sin^{2}t)} = \sqrt{a^2 \cdot \cos^{2}t} = a\cos t$

3. 含 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，令 $x = a\sec t$

基本步骤

1. 找根式 $x^2$
2. 换元，计算
3. 回代

答案中：

1. 单独 $t$ => 取反三角函数表示
2. 三角函数 => 画直角三角形， 根据三角关系回代

分部积分

来源

$$\int{u}\cdot{v}^{'}\text{d}x = {u}\cdot{v}-\int{v}\cdot{u}^{'}\text{d}x$$

使用条件

1. 乘积关系
2. 不具有导数关系

核心

找 $u\cdot{v}^{'}$ => 口诀： “反对幂指三”， 前者为 $u$ ，后者为 $v^{'}$

找到 $v^{'}$ 后，$v^{'}\Longrightarrow\int v^{'}\Longrightarrow{v}$

改写原式 $=\int{u}\text{d}v={u}\cdot{v}$

题型一

积分式子中，只有一个函数(反三角，对数) => 直接套公式 $\int{u}\text{d}x$

题型二

积分式子中，两个不同类型函数相乘

题型三

积分式子。$e^x,\cos{x},\sin{x}$ 乘积形式，分部积分(循环) $\Longleftrightarrow$ 会出现两次循环 $\Longleftrightarrow$ 用两次分部积分

题型四

积分式子中含有 $f^{'}(x), f^{''}(x)$ => 分部积分优先

定积分

定积分定义

指用来求曲边图形面积的工具，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$

定积分几何意义

$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$ : 指由函数曲线 $y=f(x)$ ，及 $x=a,x=b$ ，$x$ 轴所围成的图形各部分面积的代数和

• $f(x)\gt0$ 时 ，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \gt0$

• $f(x)\lt0$ 时 ，$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \lt0$

定积分比较大小

看 $(a, b)$ 范围，$f(x)$ 与 $g(x)$ 大小

$f(x) \ge g(x)$ => $\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x \ge \int_{a}^{b}g(x)\text{d}x$

定积分性质

1. $\int_{a}^{b}{f(x)}\pm{g(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x\pm\int_{a}^{b}{g(x)}\text{d}x$

2. $\int_{a}^{b}{k}\cdot{f(x)}\text{d}x=k\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x$ ($k与x无关$)

3. $\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{c}{f(x)}\text{d}x+\int_{c}^{b}{f(x)}\text{d}x$ (分段函数)

4. $\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x = -\int_{b}^{a}{f(x)}\text{d}x$ (上下限调换，计算结果添负号)

5. $\int_{a}^{b}1\text{d}x=\int_{a}^{b}\text{d}x=b-a$

定积分计算公式

牛顿—莱布尼茨公式

$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

分部积分公式

$\int_{a}^{b}{u}\cdot{v}^{'}\text{d}x = {u}\cdot{v}|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{v} \cdot {u}^{'}\text{d}x$

定积分的四则运算技巧

偶倍奇零

$\int_{-a}^{a}f(x)\text{d}x$:

• $f(x)$ 偶函数：$2\int_{0}^{a}f(x)\text{d}x$
• $f(x)$ 奇函数：0

条件：区间对称

定积分点火公式(华里氏公式)

条件：积分为 $(0, \frac{\pi}{2})$

公式

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}\text{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}\text{d}x$

• $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$ ，$n$ 为偶数
• $\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}\cdot{1}$

定积分求 $\frac{1}{4}$ 圆面积

$$\int_{0}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x=\frac{1}{4}\pi{a^2}$$

定积分换元法

定积分换元换限

无理根式代换

三角代换

定积分分段函数

$$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{x_0}{f(x)}\text{d}x+\int_{x_0}^{b}{f(x)}\text{d}x$$

遇分段函数定积分，从分段点分开，单独求左侧及右侧面积

定积分等式证明

积分区间再现公式

$$\int_{a}^{b}{f(x)}\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)}\text{d}x$$

使用条件

等式两侧，积分区间一样

定积分几何应用

X型图

由上，下两个函数围成的面积(分上下观看) $$S = \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x \tag{X}\label{X}$$

Y型图

由左，右两个函数围成的面积(分左，右观看)

$$S = \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y \tag{Y}\label{Y}$$

改写 $x = f(y)$

求解思路

1. 画：画图（联立方程，找曲线交点）
2. 定：定类型，X型图 或 Y型图
3. 式：套公式：
   1. $X \rightarrow \int_{a}^{b}{f_{上}{x}-f_{下}{x}}\text{d}x$
   2. $Y \rightarrow \int_{c}^{d}{f_{右}{y}-f_{左}{y}}\text{d}y$

定积分求旋转体体积

X型图

绕x轴

$V_x = \pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\text{d}x$

若是两函数 $f_{上}{(x)}、f_{下}{(x)}$ 间的体积 $$V_x = \pi\int_{a}^{b}({f_{上}^{2}}(x)-{f_{下}^{2}}(x))\text{d}x$$

绕y轴

$V=2\pi\int_{a}^{b}{x}\cdot{f(x)}\text{d}x$

Y型图

$V_y = \pi\int_{c}^{d}f^{2}(x)\text{d}y$

若是两函数 $f_{右}{(x)}、f_{左}{(x)}$ 间的体积

$V_y = \pi\int_{c}^{d}({f_{右}^{2}}(x)- {f_{左}^{2}}(x))\text{d}x$