第二章 一元函数微分学
导数
函数在 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的 导数
定义式
$$ \lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= f^{’}(x_0) $$
增量式
$$ \lim\limits_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}= f^{’}(x_0) $$
$x - x_0 = \triangle x$
$\triangle x = x - x_0$
- $\triangle x$ 可换成其他字母
- 整体思想， $\triangle x$ 是一个整体
- $\triangle x \rightarrow 0$ ，谁趋向于 $0$ ，谁就是 $\triangle x$
引申公式
$$ \lim\limits_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+a \cdot \triangle x)-f(x_0+b \cdot \triangle x)}{c \cdot \triangle x}= \frac{a-b}{c}f^{’}(x_0) $$
左导数与右导数
定义
左导数：$f_{-}^{’}(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$
右导数：$f_{+}^{’}(x_0)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
- 函数在某点 $x_0$ 的可导条件： $f_{-}^{’}(x_0) = f^{’}_{+}(x_0)$
左导数等于右导数
- 可导的必要条件：可导函数必连续
“可导”:
- 连续 $\Longleftrightarrow$ 左极限 = 右极限 = 函数值
- 左导数 = 右导数
函数不可导的情况
- 左导数 $\neq$ 右导数，即尖点处
- 导数为 $\infty$
各大类函数的求导公式
常数函数
$$ C^{’} = 0 $$
幂函数
$$ (x^a) = ax^{a-1} $$
熟记：
- $(\frac{1}{x})^{’} = -\frac{1}{x^2}$
- $(\sqrt{x})^{’} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
指数函数
$$ (a^x)^{’} = a^xlna $$
熟记：$(e^x)^{’} = e^x$
对数函数
$$ (log_a^x)^{’} = \frac{1}{xlna} $$
熟记：$(lnx)^{’} = \frac{1}{x}$
三角函数
- $(\sin x)^{’} = \cos x$
- $(\cos x)^{’} = -\sin x$
- $(\tan x)^{’} = \sec^2{x}$
- $(\cot x)^{’} = -\csc^2{x}$
- $(\sec x)^{’} = \sec x \cdot \tan x$
- $(\csc x)^{’} = -\csc x \cdot \cot x$
含 ”c“ 的三角函数的导出必含负号
- $\sec x = \frac{1}{\cos x}$
- $\csc x = \frac{1}{\sin x}$
反三角函数
- $(\arcsin x)^{’} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arccos x)^{’} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arctan x)^{’} = \frac{1}{1+x^2}$
- $(arccot\ x)^{’} = -\frac{1}{1+x^2}$
- $ln\frac{b}{a} = lnb - lna$
- $ln{a} \cdot {b} = lna + lnb$
- $lna^b = blna$
导数的四则运算
设 $u、v为函数$
$$ (u \pm v)^{’} = u^{’} \pm v^{’} $$
$$ (k \cdot u) = k \cdot u^{’} $$
$$ (u \cdot v)^{’} = u^{’} \cdot v + u \cdot v^{’} $$
前导后不导，前不导后导
$$ (\frac{u}{v})^{’} = \frac{u^{’} \cdot v - u \cdot v^{’}}{v^2} $$
避免对分式直接求导
导数的复合运算法则
原则：从外向里，层层求导，每层相乘
类型一：具体函数求导
类型二：抽象复合函数
$f[g(x)]$ 中的f也要求导，即 $f(x) \rightarrow(求导) f^{’}(x)$
分段函数求导
求导原则
- 分段点两侧直接求导
- 中间分段点处，用定义求导
隐函数求导
隐函数定义
形如 $y=f(x)$ 称为显函数， 如 $y = e^x, y = x^2$
隐函数：不是 $y = f(x)$ 形式的函数。(非显即隐)
解法
公式法
对题干函数移项（用方程的”$左边-右边$“），得 $F(x, y) = 0$
求偏导。
- $F_x$ : 对 $x$ 求导， $y$ 看作是常数。
- $F_y$ : 对 $y$ 求导， x看作是常数。
套公式
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y} $$
参数方程求导
定义
x 与 y 通过中间变量 t 间接建立的函数关系式
$$ 写法: \begin{Bmatrix}y = y(t) \ x = x(t)\ \end{Bmatrix} (t为参数) $$
求导原则
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y^{’}(t)}{x^{’}(t)} = \frac{y对t求导}{x对t求导} \rightarrow (一阶导) $$
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(\frac{dy}{dx})^{’}t}{x^{’}(t)} = \frac{一阶导对t求导}{x对t求导} \rightarrow (二阶导) $$
幂指函数求导
幂指函数定义
形如 $u^v$ 的函数叫幂指函数，（其中， $u,v$ 均是函数），如 $x^{sinx}, (\frac{x}{1+x})^{x^2}$
求导方法
对数求导法
遇 $y=u^v$
两边同时取对数
- $$ \ln y = \ln u^v \rightarrow \ln y =v \cdot \ln u $$
两边同时求导(把 $y$ 看作 $x$ 的函数，$y$ 需求导)
- $$ \frac{1}{y} \cdot y^{’} = (v \cdot \ln u)^{’} $$
化简.
- $$ y^{’} = (v \cdot \ln u)^{’} \cdot y $$
回代，$y$ 用 $u^v$ 表示，则 $y^{’} = (v \cdot \ln u)^{’} \cdot u^v$
公式变形法，用 $u^v = e^{v \cdot \ln u}$ 变成符合函数求导
使用方法选择
- 遇到单个 $y = u^v$， 两种方法都可以
- 遇到单个 $y = u^v$，含连乘、除、根号复合型，首选对数求导法
- 遇到 $y =u^v \pm g(x)$ ，只可选公式变形法( $u^v = e^{v \cdot \ln u}$ )
变限积分求导
定义
形如 $\int_{g(x)}^{f(x)} h(x) dt$ ，叫变限积分函数
求导方法
$$ [\int_{下限}^{上限} f(t) dt]^{’} = f(上限) \cdot 上限^{’} - f(下限) \cdot 下限^{’} $$
高阶导数
定义
二阶及其以上的导数，如 $y^{’’}, y^{’’’}, y^{(4)}……$
$y^{(n)}: 叫y的n阶导$
常见n阶导公式
$$ [\sin (ax+b)]^{(n)} = a^n \cdot \sin(ax+b+n \cdot \frac{\pi}{2}) $$
$$ [\cos(ax+b)]^{(n)} = a^n \cdot \cos(ax+b+n \cdot \frac{\pi}{2}) $$
$$ [\frac{1}{ax \pm b}]^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n! \cdot a^n}{(ax \pm b)^{n+1}} $$
高阶导数的题型及解法
题型一
求具体函数，如求 $y^{’’}$ => 直接求导
幂函数
- $(x^a)^{(a)}$ 求导不会超过 $a$ 次
- $(x^a)^{(a)} = a!$
题型二
求 $y^{(n)}$ 解法：求 $2$ 或者 $3$ 次导数，找规律
$\frac{1}{小 \cdot 大} = (\frac{1}{小} - \frac{1}{大}) \cdot \frac{1}{大 - 小}$
如：$\frac{1}{(x -4)(x + 2)} = \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+2})$
函数的微分
定义
$\mathrm{d}y$ 叫做函数 $y$ 的微分
计算公式
$$ \mathrm{d}y = y^{’}\mathrm{d}x \ 推广： \mathrm{d}\Box = \Box^{’}\mathrm{d}x $$
理解
$$ y^{’} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Longleftrightarrow (左右同乘 \mathrm{d}x) \Longleftrightarrow y^{’}\mathrm{d}x = \mathrm{d}y $$
导数的几何应用
切线的引入
$f(x_0)$ 描述 f(x) 在 $[x_0, f(x_0)]$ 切线的斜率 $k(k = f(x_0))$
$(x_0, f(x_0))$ 是切点，
切线方程
$$ f(x) - f(x_0) = k (x - x_0) \ 也可以写成 y - y_0 = k(x - x_0) $$
法线方程
$$ f(x) - f(x_0) = - \frac{1}{k} (x - x_0) \ 也可以写成 y - y_0 = - \frac{1}{k}(x - x_0) $$
题型一
已知切点 $[x_0, f(x_0)]$
解法：
- 对曲线或方程组求导的到斜率
- 利用切点和斜率，结合切线方程或者法线方程算出切线和法线的方程
题型二
若切点未知
解法：
- 设切点为 $[a, f(a)]$ 算出切线：$y-f(a) = f^{’}(a)(x-a)$
- 利用题干切线满足条件，算出 $a$ 的值
一阶导数确定函数单调性
设 f(x) 在 (a, b) 可导
- $f^{’}(x) \gt 0$ ，则 $f^{’}(x)$ 在 $(a, b)$ 区间单调递增，$(a, b)$ 为 增区间
- $f^{’}(x) \lt 0$ ，则 $f^{’}(x)$ 在 $(a, b)$ 区间单调递减，$(a, b)$ 为 减区间
- $f^{’}(x_0) = 0$ ，称 $x_0$ 为 驻点
求 f(x) 单调区间的方法
确定 $f(x)$ 定义域
求 $f^{’}(x)$ 且 令 $f^{’}(x)$ ，找到全部的驻点及 $f^{’}(x)$ 不存在的点(无定义点)
尖点不可导
- 利用这些点将定义域分割
- 列表讨论各子区间 $f^{’}(x)$ 的符号
- $f^{’}(x) \gt 0 \Longrightarrow 单调递增$
- $f^{’}(x) \lt 0 \Longrightarrow 单调递减$
函数的极值
极值的定义
指 $f(x)$ 的局部的最值
- 极大值：指局部范围最大值
- 极小值：指局部范围最小值
极值点的出处
- $f^{’}(x) = 0$ 的点 => 驻点
- $f^{’}(x)$ 不存在的点(无定义) => 不可导点
极值的判断
方法一
利用单调性( $f^{’}(x)$ )判断：
- 先增后减为极大值
- 先减后增为极小值
方法二
利用 $f^{’’}(x)$ 判断
- $f^{’’}(x) \lt 0 \Longrightarrow 极大值$
- $f^{’’}(x) \gt 0 \Longrightarrow 极小值$
求极值的步骤
- 确定 $f(x)$ 定义域
- 求 $f^{’}(x)$ 且 令 $f^{’}(x)$ ，找到全部的驻点及 $f^{’}(x)$ 不存在的点(无定义点)
- 利用这些点，分割定义域形成子区间
- 列表讨论子区间内的单调性，即 $f^{’}(x)$ 的正负性确定是极大值还是极小值
极值点和驻点的关系
极值点来源
- 驻点：$f^{’}(x_0) = 0$
- 不可导点：$f^{’}(x_0)$ 不存在
极值点与驻点的关系 => 无半毛钱 直接关系
考点 $\Longleftrightarrow$ 极值点与驻点唯一确定的关系：可导函数有极值，则该点定为驻点
充分，必要，充分必要
- $A \Longrightarrow B$ ：$A$ 是 $B$ 的充分条件
- $A \Longrightarrow B$ ：$B$ 是 $A$ 的必要条件
- $A \Longleftrightarrow B$ ：$A$ 是 $B$ 的充分必要条件
函数的最值
解法：
- 确定 $f(x)$ 的定义域
- 求端点值及极值
- 比较端点值和极值
- 最大 => 最大值
- 最小 => 最小值
函数的凹凸性
二阶导数应用
曲线凹凸性判断
$f^{’’}(x) \gt 0 \Longrightarrow f(x) 凹 $
$f^{’’}(x) \lt 0 \Longrightarrow f(x) 凸$
$f^{’’}(x) = 0 或者 f^{’’}(x)不存在 \Longrightarrow 拐点(曲线凹凸性发生改变的点， 记(x_0, f(x_0))， (x_0, f(x_0))是坐标点 )$
求解 $f(x)$ 的定义域
- 确定 $f(x)$ 定义域
- 求 $f^{’’}(x)$ 且令 $f^{’’}(x) = 0$ ，或者 $f^{’’}(x)$ 不存在的点
- x列表 用这些点分割定义域，讨论子区间 $f^{’’}(x)$ 正负性得到 $f(x)$ 凹凸性